11.1.Linear Properties of Differential Operator
设\(V\)是所有在某区间\(I\subseteq\mathbb{R}\)上可微函数的集合，构造可微函数向量\(\mathbf{f}=(f_1, f_2, \cdots, f_n)\)，所有这样的可微函数向量组成的集合记作\(V^n\)。
\(V_n\)是一个向量空间，其加法与数乘的定义：
- \(\mathbf{f}+\mathbf{g}=(f_1+g_1, f_2+g_2, \cdots, f_n+g_n)\)
- \(c\cdot\mathbf{f}=(cf_1, cf_2, \cdots, cf_n)\)
考虑\(V^n\)上的微分算子\(\boldsymbol{D}(\mathbf{f})=(\frac{\text{d}f_1}{\text{d}x},\frac{\text{d}f_2}{\text{d}x},\cdots, \frac{\text{d}f_n}{\text{d}x})\)，其满足以下性质：
- \(\boldsymbol{D}(\mathbf{f}+\mathbf{g})=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\mathbf{f}+\mathbf{g})=\frac{\text{d}\mathbf{f}}{\text{d}x}+\frac{\text{d}\mathbf{g}}{\text{d}x}=\boldsymbol{D}(\mathbf{f})+\boldsymbol{D}(\mathbf{g})\)
- \(\boldsymbol{D}(cf)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(cf)=c\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=c\boldsymbol{D}(f)\)
因此，微分算子\(\boldsymbol{D}\)为\(V^n\to V^n\)的线性映射。
不难证明，对\(\mathbf{f}\)的矩阵作用\(\boldsymbol{A}(x)\)是线性映射。考虑\(V^n\)上的映射\(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{D}+\boldsymbol{A}(x)\)，由于线性映射的加法保持性，算子\(\boldsymbol{L}\)依然是线性映射。对于线性齐次微分方程
\[
\boldsymbol{L}(\mathbf{y})=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}+\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}=0
\]
的解基满足\(\boldsymbol{L}(\mathbf{y_0})=0,\boldsymbol{L}(\mathbf{y_1})=0\cdots,\boldsymbol{L}(\mathbf{y_n})=0\)。其解基的线性组合\(\mathbf{u}=c_0\cdot\mathbf{y_0}+c_1\cdot\mathbf{y_1}+\cdots+c_n\cdot\mathbf{y_n}\)依然满足\(\boldsymbol{L}(\mathbf{u})=0\)。解基的线性组合为此微分方程的通解。
对于非齐次线性微分方程：
\[
\boldsymbol{L}(\mathbf{y})=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}+\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}=\mathbf{f}
\]
有特解满足\(\boldsymbol{L}(\mathbf{u}^*)=\mathbf{f}\)，同时有通解满足\(\boldsymbol{L}(\mathbf{u})=0\)。由于\(\boldsymbol{L}\)为\(V^n\to V^n\)的线性映射，有：\(\boldsymbol{L}(\mathbf{u}+\mathbf{u}^*)=0\)。因此方程的解为齐次线性方程的通解与特解的叠加：
\[
\mathbf{y}=\mathbf{u}+\mathbf{u}^*
\]
11.2.Solution Space & Martix
有齐次线性微分方程：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}
\]
我们令其在区间\((a,b)\)上的所有解所组成的集合为\(\mathcal{S}\)，由齐次线性微分方程解的叠加定理，集合\(\mathcal{S}\)为线性空间。
对于任意的初始条件\((x_0, \mathbf{y}(x_0))\)，都有唯一确定的\(\mathbf{y}(x)\)与之对应。由于\(\mathbf{y}(x_0)\subseteq\mathbb{R^n}\)，我们确定映射\(H:\mathcal{S}\to\mathbb{R^n}\)。显然，\(H\)为双射。
现在证明\(H\)为线性映射，即证明\(H^{-1}\)也为线性映射。
- \(H^{-1}(\mathbf{f}+\mathbf{g})=H^{-1}(\mathbf{f})+H^{-1}(\mathbf{g})\)
- \(H^{-1}(c\cdot\mathbf{f})=cH^{-1}(\mathbf{f})\)
由于\(\mathcal{S}\)是线性空间，\(\mathbf{f}\subseteq\mathcal{S},\mathbf{g}\subseteq\mathcal{S}\)，则\(\mathbf{f}+\mathbf{g}\subseteq\mathcal{S}，c\cdot\mathbf{f}\subseteq\mathcal{S}\)。即\(1,2\)成立，\(H:\mathcal{S}\to\mathbb{R^n}\)为线性同构映射，两者拥有相同的基底数，即：\(\text{dim}\mathcal{S}=\text{dim}\mathbb{R^n}=n\)。
因此，\(n\)阶齐次线性微分方程的解空间\(\mathcal{S}\)是\(n\)维的，即其有\(n\)个线性无关的解。
我们将这\(n\)个基解的线性组合写作解矩阵的形式：
\[
\mathbf{u}=c_1\mathbf{y_1}+\cdots+c_n\mathbf{y_n}=\boldsymbol{\Phi}(x)\mathbf{c}
\]
满足：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\boldsymbol{\Phi}(x)=\boldsymbol{A}(x)\cdot\boldsymbol{\Phi}(x)
\]
不难证明，对于任意非奇异常数矩阵\(\mathbf{C}\)，\(\boldsymbol{\Phi}(x)\cdot\mathbf{C}\)也为此齐次线性微分方程的解矩阵。
对于非齐次线性微分方程：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}
\]
有通解\(\mathbf{u}=\boldsymbol{\Phi}(x)\mathbf{c}\)与特解\(\mathbf{u^*}=\boldsymbol{\Phi}(x)\mathbf{c}(x)\)。对于特解\(\mathbf{u^*}\)，有：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{c}'(x)=\boldsymbol{\Phi}^{-1}(x)\cdot\mathbf{f}
\]
由此可以确定非齐次线性微分方程解的具体结构：
\[
\boldsymbol{Y}(x)=\boldsymbol{\Phi}(x)(\mathbf{c}+\int_{x_0}^x\boldsymbol{\Phi}^{-1}(s)\cdot\mathbf{f}\text{d}s)
\]
由于特解的形式，我们找到的解组需要保证\(\text{Wrongsky}\)行列式\(W(x)=\text{det}\boldsymbol{\Phi}(x)\ne0\)，即解组线性无关。若基解线性相关，则不足以张成整个解空间\(\mathcal{S}\)，此时无法找出特解与通解的完全形式。
对于\(\text{Wrongsky}\)行列式\(W(x)=\text{det}\boldsymbol{\Phi}(x)\)，我们不加证明地给出\(\text{Liouville}\)公式：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}W(x)=\text{tr}[\boldsymbol{A}(x)]W(x)
\]
解得：
\[
W(x)=Ce^{\int\text{tr}[\boldsymbol{A}(x)]\text{d}x},C\ne 0
\]
11.3.Matrix Exponential
Suppose a 常系数矩阵多项式：
\[
e^{x\boldsymbol{A}}=\frac{x^0\boldsymbol{A}^0}{0!}+\frac{x^1\boldsymbol{A}^1}{1!}+\cdots+\frac{x^n\boldsymbol{A}^n}{n!}
\]
满足：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{I}+x\boldsymbol{A}+\cdots+\frac{x^n\boldsymbol{A}^n}{n!})=\boldsymbol{A}e^{x\boldsymbol{A}}
\]
可以断定，常系数齐次线性微分方程\(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}\mathbf{y}\)的解矩阵：
\[
\boldsymbol{\Phi}(x)=\boldsymbol{I}+x\boldsymbol{A}+\cdots+\frac{x^n\boldsymbol{A}^n}{n!}=e^{x\boldsymbol{A}}
\]
常系数非齐次线性微分方程\(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}\mathbf{y}+\mathbf{f}\)在区间\((a,b)\)上的解矩阵：
\[
\boldsymbol{Y}(x)=e^{x\boldsymbol{A}}\mathbf{c}+\int_{x_0}^xe^{(x-s)\boldsymbol{A}}\cdot\mathbf{f}\text{d}s
\]
矩阵指数\(e^{\boldsymbol{A}}\)满足以下性质：
- 若矩阵\(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\)是可交换的，则\(e^{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}}=e^{\boldsymbol{A}}e^{\boldsymbol{B}}\)。常系数非齐次线性微分方程在
- 对于任意的\(\boldsymbol{A}\)，\(e^{\boldsymbol{A}}\)是可逆的，且\((e^{\boldsymbol{A}})^{-1}=e^{-\boldsymbol{A}}\)
- 若\(\boldsymbol{P}\)是任意非奇异\(n\)阶矩阵，则\(e^{\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}}=\boldsymbol{P}e^{\boldsymbol{\Lambda}}\boldsymbol{P}^{-1}\)
任意矩阵\(\boldsymbol{A}\)可转换为\(\text{Jordan}\)标准型：\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{J}\boldsymbol{P}^{-1}\)，对于指数矩阵\(e^{x\boldsymbol{A}}\)，则有：
\[
e^{x\boldsymbol{A}}=e^{x\boldsymbol{P}\boldsymbol{J}\boldsymbol{P}^{-1}}=\boldsymbol{P}e^{x\boldsymbol{J}}\boldsymbol{P}^{-1}
\]
其中：
\[
\boldsymbol{J} = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{J}_1 & & & \\
& \boldsymbol{J}_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \boldsymbol{J}_m
\end{pmatrix}
\]
为\(\text{Jordan}\)标准型。\(\boldsymbol{J}_i\)为\(\text{Jordan}\)块：
\[
\boldsymbol{J}_i = \begin{pmatrix}
\lambda_i & 1 & & \\
& \lambda_i & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda_i
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\lambda_i & & & \\
& \lambda_i & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_i
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 1 & & \\
& 0 & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & 0
\end{pmatrix}
\]
又：
\[
e^{x\boldsymbol{J}}=\boldsymbol{I}+x\boldsymbol{J}+\cdots+\frac{x^n\boldsymbol{J}^n}{n!} = \begin{pmatrix}
\mathrm{e}^{x\boldsymbol{J}_1} & & & \\
& \mathrm{e}^{x\boldsymbol{J}_2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \mathrm{e}^{x\boldsymbol{J}_m}
\end{pmatrix}
\]
其中：
\[
\mathrm{e}^{x\boldsymbol{J}_i} = \mathrm{e}^{\lambda_i x} \left\{ \boldsymbol{I} + x\begin{pmatrix}
0 & 1 & & & \\
& \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 1 \\
& & & & 0
\end{pmatrix} + \cdots + \frac{x^{n_i - 1}}{(n_i - 1)!}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\
& 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
& & \ddots & & \vdots \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & 0
\end{pmatrix} \right\}
\]
即：
\[
\mathrm{e}^{x\boldsymbol{J}_i} = \mathrm{e}^{\lambda_i x} \begin{pmatrix}
1 & x & \frac{x^2}{2!} & \cdots & \frac{x^{n_i - 1}}{(n_i - 1)!} \\
& 1 & x & \cdots & \frac{x^{n_i - 2}}{(n_i - 2)!} \\
& & \ddots & \ddots & \vdots \\
& & & \ddots & x \\
& & & & 1
\end{pmatrix}
\]
所以最终解矩阵的形式：
\[
\boldsymbol{\Phi}(x)=e^{x\boldsymbol{A}}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}e^{x\boldsymbol{J}}
\]
得到通解的具体形式：
\[
\mathbf{y}=e^{\lambda_1x}\boldsymbol{P}_1(x)+e^{\lambda_2x}\boldsymbol{P}_2(x)+\cdots+e^{\lambda_nx}\boldsymbol{P}_n(x)=\sum_{m=1}^{n} e^{\lambda_mx}\boldsymbol{P}_m(x)
\]
其中：
\[
\boldsymbol{P}_i(x)=\boldsymbol{C}_i
\begin{pmatrix}
1 \\
x \\
x^2 \\
\vdots \\
x^{n_i-1}
\end{pmatrix}=\boldsymbol{C}_i\mathbf{p}(x)
\]
\(\boldsymbol{C}_i\)为常系数矩阵，由初始值组唯一确定。
11.4.高阶线性微分方程
对于高阶线性微分方程：
\[
y^{(n)} + a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = f(x)
\]
写成\(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}\)形式：
\[
\begin{pmatrix}
y' \\
y'' \\
\vdots \\
y^{(n-1)} \\
y^{(n)}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_{n}(x) & -a_{n-1}(x) & -a_{n-2}(x) & \cdots & -a_1(x)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y \\
y' \\
\vdots \\
y^{(n-2)} \\
y^{(n-1)}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
f(x)
\end{pmatrix}
\]
对于常系数齐次线性微分方程\(y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y' + a_n y = 0\)，将\(\boldsymbol{A}\)化为\(\text{Jordan}\)阵，特征方程为：
\[
\det[\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}] =
\begin{vmatrix}
\lambda & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & \lambda & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & -1 \\
a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & \lambda + a_1
\end{vmatrix}=\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1} \lambda + a_n =0
\]
Suppose \(\boldsymbol{A}\)的代数重数为\(n\)，利用11.3中的结论，通解的具体形式为：
\[
\mathbf{y}=\sum_{m=1}^{n} e^{\lambda_mx}\boldsymbol{P}_m(x)
\]
我们只关心\(\mathbf{y}\)的第一个维度，即\(y\)：
\[
y=\sum_{m=1}^{n} e^{\lambda_mx}\mathbf{p}_m(x)
\]
其中\(\mathbf{p}_m(x)\)为\(x\)的\(n_i-1\)次多项式：
\[
\mathbf{p}_i(x)=\mathbf{c}_i\cdot
\begin{pmatrix}
1 \\
x \\
x^2 \\
\vdots \\
x^{n_i-1}
\end{pmatrix}=\mathbf{c}_i\cdot\mathbf{p}(x)
\]
\(\mathbf{c}_i\)为常系数行向量，由初值唯一确定。
对于二阶非常系数情况，即\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)，已知\(\varphi\)满足\(\varphi''+p(x)\varphi'+q(x)\varphi=0\)。由于解空间\(\mathcal{S}\)是二维的，因此必定存在另一线性无关解\(y\)，有\(\text{Liouville}\)公式：
\[
W(x)=
\begin{vmatrix}
\varphi & y\\
\varphi' & y'
\end{vmatrix}=Ce^{-\int p(x)\text{d}x},C\ne 0
\]
有：
\[
\frac{\varphi y'-y\varphi'}{\varphi^2}=\frac{C}{\varphi^2}e^{-\int p(x)\text{d}x}
\]
即：
\[
\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac{y}{\varphi})=\frac{C}{\varphi^2}e^{-\int p(x)\text{d}x}
\]
由此确定另一线性无关解\(y\)：
\[
y = \varphi(x) \left[ C_1 + C_2 \int_{x_0}^{x} \frac{1}{\varphi^2(s)} \mathrm{e}^{-\int_{x_0}^{s} p(t) \,\mathrm{d}t} \,\mathrm{d}s \right]
\]
对于更一般的非齐次情况：\(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\)，写作\(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\mathbf{y}=\boldsymbol{A}(x)\mathbf{y}+\mathbf{f}\)形式：
\[
\begin{pmatrix}
y' \\
y''
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 &1 \\
-q &-p
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y \\
y'
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
0 \\
f
\end{pmatrix}
\]
可以确定解矩阵：
\[
\boldsymbol{\Phi}(x)=
\begin{pmatrix}
\varphi_1 & \varphi_2\\
\varphi_1' & \varphi_2'
\end{pmatrix}
\]
利用常数变易法，令通解\(\varphi^*=\boldsymbol{\Phi}(x)\mathbf{c}(x)\)，代入原方程：
\[
\mathbf{c}'(x)\boldsymbol{\Phi}(x)=
\begin{pmatrix}
0 \\
f
\end{pmatrix}
\]
即：
\[
\begin{pmatrix}
\varphi_1 & \varphi_2\\
\varphi_1' & \varphi_2'
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1' \\
c_2'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\
f
\end{pmatrix}
\]
解得：
\[
c_1'(x) = -\frac{\varphi_2(x) f(x)}{W(x)}, \quad c_2'(x) = \frac{\varphi_1(x) f(x)}{W(x)}
\]
得到方程的通解：
\[
y = C_1\varphi_1(x) + C_2\varphi_2(x) + \int_{x_0}^{x} \frac{\varphi_1(s)\varphi_2(x) - \varphi_1(x)\varphi_2(s)}{\varphi_1(s)\varphi_2'(s) - \varphi_2(s)\varphi_1'(s)} f(s) \,\mathrm{d}s
\]